第二十二章　相关回归分析

　　提要　相关回归的意义，原理；小样本的直线相关和回归分析；相关系数和回归系数的意义及假设检验；应用直线相关和回归分析时的注意事项。

　　在医学上，许多现象之间都存在着相互联系，例如身高与体重，体温与脉搏，年龄与血压，钉螺与血吸虫感染等。而有些事物的关系是互为因果的，如上述钉螺是因，感染血吸虫是果；但有时回果不清，只是伴随关系。例如父母的兄弟，兄高，弟也可能高，但不能说兄是因、弟是果，这里不是因果关系，而可能与社会条件、家庭经济、营养、遗传等因素有关。

　　相关是解决客观事物或现象相互关系密切程度的问题，而回归则是用函数的形式表示出因果关系。有相关不一定因果关系；反之，有因果关系的，一定有相关。我们称“因”的变量叫，习惯上用Y表示。以横轴代表自变量X，纵轴代表依变量Y，可以将一群观察事物的两种关系在坐标图上以P（X，Y）的方法定位，作出一群点图，便可在体上看出两者的关系，例如图22-1。

　　图22-1（A）表示血压（依变量）随年龄（自变量）增长而增高，其图像性质与（B）一样称正相关（positive correlation）；图（C）的依变量随自变量的增加而减少，称为负相关（negative correlation）；若二者没有关系，则称无相关（如图D、E、F）。

图22-1 年龄与血压相关（A）和五种有代表性点图（B～F）

　　根据实际资料，用数学的方法求出一条曲线（或直线），使我们能够从一个自变数推算出相关的依变量的值，这条线就叫回归线。回归线有直线和曲线两种。本章仅介绍直线相关与回归分析。

　　例22.1 某产科医师发现产妇尿液中雌三醇含量与初生儿体重有相关现象，因此检查了31例待产妇24小时的尿雌三醇含量，并记录下各产儿初生体重，统计如表22-1。作者意欲通过测定尿中雌三醇含量以间接预测初生儿体重，以便对低出生体重儿采取预防性措施。

　　表22-1 待产妇尿雌三醇含量与初生儿体重统计

　　资料来源：Rosner B:Fundamentals of Biostatistics P.346,Duxbury Press,1982

　　一、相关分析（correlation analysis）

　　先将上表数据按直角坐标作出图22-2。从该图的点子分布可以看出，尿中雌三醇浓度愈高，新生儿体重愈大；这群点子的分布基本上呈直线趋势。

图22-2 待产妇尿雌三醇含量与产儿出生体重相关图

　　（一）相关系数（correlation coefficient）

　　相关系数是表示两个变量（X，Y）之间线性关系密切程度的指标，用r表示，其值在-1至+1间。如两者呈正相关，r呈正值，r=1时为完全正相关；如两者呈负相关则r呈负值，而r=-1时为完全负相关。完全正相关或负相关时，所有图点都在直线回归线上；点子的分布在直线回归线上下越离散，r的绝对值越小。当例数相等时，相关系数的绝对值越接近1，相关越密切；越接近于0，相关越不密切。当r=0时，说明X和Y两个变量之间无直线关系。计算相关系数的公式为：

　　为了获得公式22.2中各数据，先将表22-1资料进行计算如表22-2。

　　从表22-2的计算获得

　　ΣX=534 ΣX2=9876 ΣY=99.2 ΣY2=324.18 ΣXY=1750

　　N=31

　　按这些数据进一步以下演算求r。

　　(二)相关系数的假设检验

　　本例题31例，只是总体中一个样本，由此求得的相关系数，必然存在抽样误差。总体相关系数为零（ρ=0）时，从这总体中抽出31例，因为抽样误差，r也可能不等于0。氙以要判断该样本r是否有意义，需与总体相关系数，ρ=0比较，看两者的差别有无统计不学意义。

　　相关系数的假设检验，可用t检验，公式如下：

　　　　公式（22.2）

　　自由度v=n-2

　　H₀:ρ=0

　　H1:ρ≠0

　　α=0.05

　　本例r=0.6097，n=31，代入公式（22.2）

　　表22-2 相关系数计算表

　　V=31-2=29

　　查t值表，t_0.01(29)=2.756，本例t_r=4.1423＞t_0.01(29),P＜0.01，按α=0.05水准拒绝H₀，接受H₁，可以认为临产妇24小时尿中雌三醇浓度与初生儿体重有正相关关系。

　　如果不用t检验，可以根据v查相关系数r界值表（附表22-1）。本例v=29，查表得知r_0.01(29)值为0.456，而本例r=0.6097＞r_0.01(29),故P＜0.01，与上述t检验的结果一致。

　　二、回归分析（regression analysis）

　　医学上，不少娈量间虽存在一定关系，但这种关系不象函数关系那样十分确定。例如正常人的血压随年龄而增高，但这只是总的趋势，有些高龄人的血压却不一定偏高；一群正常人按年龄和血压两个变量在坐标上的方位点，并非集中在一条上升直线上，而是围绕着一条有代表性的直线上升。

　　直线回归分析的任务在于找出两个变量有依存关系的直线方程，以确定一条最接近于各实测点的直线，使各实测点与该线的纵向距离的平方和为最小。这个方程称为直线回归方程，据此方程描绘的直线就是回归直线。

　　（一）直线回归方程式（linear regression equation）的计算

　　直线回归方程的通式为：

　　=a+bX　公式（22.3）

　　式中Y为自由变量X推算因变量Y的估计值，a为回归直线在Y轴上的截距，即X=0时的Y值；b为样本回归系数（regression coefficient），即回归直线的斜率（slope或称坡度），表示当X变动一个单位时，Y平均变动b个单位。如果已知a与b，用以代入公式（22.3），即可求得直线回归方程。求a和b的公式分别为：

　　公式（22.4）

　　公式（22.5）

　　对样本中两个变量分析，不但可作相关分析，还可进一步作直线回归分析。仍以表22-1为示范，该例经过直线相关分析，r=0.6097，两变量间有直线关系，从相关系数计算时，已求得：

　　Σ（X-x）（Y-Y）=41.2000

　　Σ（X-x）²=677.4194

　　而 Y=ΣY/n=99.2/31=3.2000

　　x=ΣY/n=534/31=17.2258

　　代入公式（22.4）

　　b=41.2000/677.4194=0.0608

　　代入公式（22.5）

　　a=3.2000-0.0608×17.2258=2.1527

　　代入公式（22.3）

　　=2.1527+0.0608X

　　（二）样本回归系数的假设检验

　　样本回归系数也有抽样误差问题，故需对b作假设检验，以评估b是否可能从回归系数为零（即β=0）的总体中随机抽得的。

　　检验步骤：

　　H₀：β=0 即b是由β=0的总体中随机抽样的样本回归系数。

　　H₁：β≠0

　　α=0.05

　　t检验：检验公式为

　　　t_b=｜b｜/s_b 公式（22.6）

　　式中s_b是回归系数的标准误，计算公式为

　　公式（22.7）

　　式中s_y.x为各观察值Y距回归直线（Y）的标准差，是当X的影响被扣除后Y方面的变异指标。可用以下公式计算：

　　　公式（22.8）

　　　公式（22.9）

　　本例上述已算得

　　　Σ（X-x）²=677.4194

　　　Σ（Y-Y）²=6.7400

　　　Σ（X-x）(Y-Y)=41.2000

　　分别代入公式（22.9）,(22.8),(22.7)和(22.6)得

　　Σ(Y-Y)^２＝6.7400-41.2000²/677.4194=4.2343

　　t_b=0.0608/0.01468=4.1417

　　分析评价 本例自由度v=31-2=29，查t值表，t_0.01（29）=2.756,P＜0.01,按α=0.05检验水准，拒绝无效假设，可以认为待产妇24小时尿中雌三醇含量与初生儿体重之间存在直线回归关系。

　　（三）描绘回归直线

　　根据以上求得回归方程Y=2.1527+0.0608x，可以在自变量X的实测范围内（本例为7～27）任取X₁和X₂两值代入上式求得在图22-2中的P₁（X₁，Y₁）和P₂（X₂，Y₂）两坐标点，将两点连结为一直线，就属该方程的回归直线。作图要注意的是P₁、P₂两点最好距离远些，绘出的直线在坐标上误差就小些。

　　三、应用直线相关与回归分析时的注意事项

　　1．作相关与回归分析要有实际意义，不要把毫无关联的两个事物或两种现象作相关、回归分析。

　　2．两事物或现象间有相关，不一定有回果关系，也可能仅是伴随关系。但是，如果两事物或现象间存在因果关系，则两者必然是相关的。

　　3．相关与回归分析所说明的问题是不同的，但又是有联系的。相关表示相互关系，回归表示从属关系。可以证明，同一批资料所算得的r与b的检验统计量（tr,tb）是相同的，如本章的案例前后算得的tr=tb=4.14。由于相关系数的计算及假设检验比较方便，故可用相关系数的显著性检验取代回归系数的显著性检验。事实上在作回归分析之前，一般先作相关分析，而只有在确定了两变量间有直线关系的前提下，求回归方程及回归线才有意义。

　　4．相关与回归的应用，仅限于原实测数据的范围内，而不能随意外推。因为不知道在此范围之外，两变量间是否仍存在同样的直线关系。如果确有进行外推的充分根据和需要，亦应十分慎重。

　　5．在X与Y均呈正态变量时的加归分析中，由X 推算Y与由Y推算X的回归系数及回归方程是不同的，切勿混淆。

附表22-1 相关系数显著性界值表